Analysis Beispiele

$\int (10 x^{4} - 4) \cos (2 x^{5} - 4 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x^{5} - 4 x$ . Dann ist $d u = (10 x^{4} - 4) d x$ , folglich $\frac{1}{10 x^{4} - 4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x^{5} - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x^{5} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 4 x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{5} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{5}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 x^{4} - 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$10 x^{4} - 4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cos (u) d u$

Schritt 2

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\sin (u) + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{5} - 4 x$ .

$\sin (2 x^{5} - 4 x) + C$