Analysis Beispiele

$\int 3 x^{2} - \sqrt{5 x} + 2 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{2} d x + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{2} d x + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Schritt 5

Sei $u = 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 5.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u + \int 2 d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u + \int 2 d x$

Schritt 6.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u + \int 2 d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u) + \int 2 d x$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 2 d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$x^{3} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{15} + 2 x + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$x^{3} - \frac{2 {(5 x)}^{\frac{3}{2}}}{15} + 2 x + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$x^{3} - \frac{2}{15} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 x + C$