Analysis Beispiele

$\frac{q x + r}{s x + t}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = q x + r$ und $g (x) = s x + t$ .

$\frac{(s x + t) \frac{d}{d x} [q x + r] - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $q x + r$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]$ .

$\frac{(s x + t) (\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $q$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $q x$ nach $x$ gleich $q \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) (q \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) (q \cdot 1 + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $q$ mit $1$ .

$\frac{(s x + t) (q + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $r$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $r$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(s x + t) (q + 0) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.6

Addiere $q$ und $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $s x + t$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $s$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $s x$ nach $x$ gleich $s \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $s$ mit $1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $t$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $t$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + 0)}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 2.12

Addiere $s$ und $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{s x q + t q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{s x q + t q + (- (q x) - r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{s x q + t q - (q x) s - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $s x q + t q - (q x) s - r s$ .

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Schritt 3.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $s x q$ und $- (q x) s$ neu an.

$\frac{q s x + t q - q s x - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $q s x$ von $q s x$ .

$\frac{t q + 0 - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $t q$ und $0$ .

$\frac{t q - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{q t - r s}{{(s x + t)}^{2}}$