Analysis Beispiele

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{1}{x}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , folglich $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{1}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{u}$ zu dividieren.

$\int - e^{u} u d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u} u d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Schritt 6

Vereinfache.

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $e^{\frac{1}{x}}$ mit $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$