Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt[3]{t}}{t - 9}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t}$ als $t^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{3}}}{t - 9}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ und $g (t) = t - 9$ .

$\frac{(t - 9) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{(t - 9) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3} - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 8.3

Bringe $t^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 9])}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 11

Da $- 9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (1 + 0)}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.2

Bringe $t^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.3

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.3.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 13.2.1.3.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.3.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 3}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.2

Um $- t^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.3

Kombiniere $- t^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.5.1.1

Faktorisiere $t^{\frac{1}{3}}$ aus $t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ heraus.

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Schritt 13.2.5.1.1.1

Bewege $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.5.1.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.5.1.1.3

Faktorisiere $t^{\frac{1}{3}}$ aus $- 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.5.1.1.4

Faktorisiere $t^{\frac{1}{3}}$ aus $t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} (1 - 1 \cdot 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} (1 - 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.5.1.3

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot - 2}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.5.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{- 2 \cdot t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ heraus.

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Schritt 13.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ heraus.

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ heraus.

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - (\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - (\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})$ heraus.

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.2

Um $\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.3

Um $\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3})}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 t^{\frac{2}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ mit $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3})}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 \cdot 3}{t^{\frac{2}{3}} \cdot 3})}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.4.3

Stelle die Faktoren von $t^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ um.

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.6.1

Multipliziere $t^{\frac{1}{3}}$ mit $t^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.3.6.1.1

Bewege $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- \frac{2 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}}) + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2 + 1}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.6.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{3}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.6.1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{- \frac{2 t^{1} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.6.2

Vereinfache $2 t^{1}$ .

$\frac{- \frac{2 t + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.3.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(t - 9)}^{2}}$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $\frac{1}{{(t - 9)}^{2}}$ mit $\frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{2 t + 9}{{(t - 9)}^{2} (3 t^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 13.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(t - 9)}^{2}$ .

$- \frac{2 t + 9}{3 \cdot {(t - 9)}^{2} t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.7

Stelle die Faktoren in $- \frac{2 t + 9}{3 {(t - 9)}^{2} t^{\frac{2}{3}}}$ um.

$- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 9)}^{2}}$