Analysis Beispiele

$\log_{b} (x + 3) + \log_{b} (x) = \log_{b} (54)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} ((x + 3) x) = \log_{b} (54)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{b} (x \cdot x + 3 x) = \log_{b} (54)$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{b} (x^{2} + 3 x) = \log_{b} (54)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} + 3 x = 54$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $54$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x - 54 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 54$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 54$ und deren Summe $3$ ist.

$- 6, 9$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 9) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.5

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 9$