Analysis Beispiele

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

Schritt 1

Sei $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ als $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ um.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.2.1.1

Schreibe $4 t^{2}$ als ${(2 t)}^{2}$ um.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

Schritt 1.1.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

Schritt 1.1.2.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

Schritt 1.1.2.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

Schritt 1.1.2.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 t$ und $b = 1$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Schritt 1.1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.7

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.8

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ ein.

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere $4$ mit $4^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Schritt 1.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Schritt 1.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

Schritt 1.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

Schritt 1.3.4

Addiere $64$ und $16$ .

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

Schritt 1.3.5

Addiere $80$ und $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{81}$

Schritt 1.3.6

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

Schritt 1.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{lower} = 9$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ ein.

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $49$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

Schritt 1.5.4

Addiere $196$ und $28$ .

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

Schritt 1.5.5

Addiere $224$ und $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{225}$

Schritt 1.5.6

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

Schritt 1.5.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{upper} = 15$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $15$ und $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $225$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Schritt 5.2.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $81$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $- 81$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

Schritt 5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

Schritt 5.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

Schritt 5.2.8

Subtrahiere $81$ von $225$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $144$ und $2$ .

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $144$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

Schritt 5.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Schritt 5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

Schritt 5.2.9.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 72$

Schritt 5.2.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $72$ .

$\frac{72}{2}$

Schritt 5.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $2$ .

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Schritt 5.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $72$ heraus.

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

Schritt 5.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

Schritt 5.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{36}{1}$

Schritt 5.2.11.2.4

Dividiere $36$ durch $1$ .

$36$

Schritt 6