Analysis Beispiele

$\int 5 x e^{- 4 x} d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int x e^{- 4 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 4 x}$ .

$5 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $e^{- 4 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$5 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $e^{- 4 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ mit $1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Schritt 7

Sei $u = - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 7.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Schritt 8

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Schritt 8.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Schritt 10

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Schritt 13

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Schritt 13.1

Schreibe $5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ als $5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ um.

$5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 13.2

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $e^{- 4 x}$ und $\frac{x}{4}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{16}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$5 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$