Analysis Beispiele

$\int 8 e^{7 x} d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int e^{7 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = 7 x$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 2.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$8 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{7}$ .

$8 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $8$ .

$\frac{8}{7} \int e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{8}{7} (e^{u} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{8}{7} e^{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $7 x$ .

$\frac{8}{7} e^{7 x} + C$