Analysis Beispiele

$\int_{- 8}^{0} x e^{- 4 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 4 x}$ .

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $e^{- 4 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - (- \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + 1 (\frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x$

Schritt 5

Sei $u = - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 5.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 4 x$ ein.

$u_{lower} = - 4 \cdot - 8$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$u_{lower} = 32$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 4 x$ ein.

$u_{upper} = - 4 \cdot 0$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 32$

$u_{upper} = 0$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- \int_{32}^{0} \frac{e^{u}}{4} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} d u))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ bei $0$ und $- 8$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Schritt 11.2

Berechne $e^{u}$ bei $0$ und $32$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$- \frac{0 e^{0}}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$- \frac{0}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 11.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$- \frac{4 (0)}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{0}{1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$0 + \frac{- 8 e^{32}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 11.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 e^{32}$ heraus.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 (1)} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 \cdot 1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{- 2 e^{32}}{1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.7.2.4

Dividiere $- 2 e^{32}$ durch $1$ .

$0 - 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.8

Subtrahiere $2 e^{32}$ von $0$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Schritt 11.3.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} (1 - e^{32})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} \cdot 1 - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Schritt 12.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{16} (- e^{32})$ .

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Schritt 12.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{16}) e^{32}$

Schritt 12.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} e^{32}$

Schritt 12.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $e^{32}$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{e^{32}}{16}$

Schritt 12.2

Um $- 2 e^{32}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$- 2 e^{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Schritt 12.3

Kombiniere $- 2 e^{32}$ und $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Schritt 12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32} - 1}{16}$

Schritt 12.6

Mutltipliziere $16$ mit $- 2$ .

$\frac{- 32 e^{32} + e^{32} - 1}{16}$

Schritt 12.7

Addiere $- 32 e^{32}$ und $e^{32}$ .

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Dezimalform:

$- 152990735353944$

Schritt 14