Analysis Beispiele

$\int 24 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Schritt 1

Da $24$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$24 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Schritt 2

Sei $u_{1} = t^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$24 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ als ${u_{1}}^{3}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$24 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ als ${u_{1}}^{4}$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{3}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ und $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$24 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $24$ .

$\frac{24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$12 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 6.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$12 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ als ${u_{2}}^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{2}$ .

$12 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{u_{2}}{2}$ und $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$12 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $12$ .

$\frac{12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 10

Sei $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Dann ist $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Schritt 10.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $- {u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$6 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Schritt 11.2

Kombiniere $e^{u_{3}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$6 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Schritt 13

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 6$ .

$\frac{- 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 15.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 15.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 15.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 15.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- 3 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 16

Das Integral von $e^{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $e^{u_{3}}$ .

$- 3 (e^{u_{3}} + C)$

Schritt 17

Vereinfache.

$- 3 e^{u_{3}} + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch $- {u_{2}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Schritt 18.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t^{2}$ .

$- 3 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$