Analysis Beispiele

$\int 21 e^{7 x - 3} d x$

Schritt 1

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $21$ aus dem Integral.

$21 \int e^{7 x - 3} d x$

Schritt 2

Sei $u = 7 x - 3$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 7 x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $7 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $7$ und $0$ .

$7$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$21 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{7}$ .

$21 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$21 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $21$ .

$\frac{21}{7} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $7$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$\frac{7 \cdot 3}{7} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{7 \cdot 3}{7 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \int e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$3 (e^{u} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$3 e^{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $7 x - 3$ .

$3 e^{7 x - 3} + C$