Analysis Beispiele

$\int 2 \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int u d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ um.

$2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{2} + C$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$u^{2} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + C$