Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral von -3 bis 0 über 1+ Quadratwurzel von 9-x^2 nach x
Schritt 1
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 2
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 3
Sei , mit . Dann ist . Beachte, dass wegen , positiv ist.
Schritt 4
Vereinfache Terme.
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Schritt 4.1
Vereinfache .
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Schritt 4.1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.1.1.2
Potenziere mit .
Schritt 4.1.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.5
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 4.1.6
Schreibe als um.
Schritt 4.1.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 4.2
Vereinfache.
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Schritt 4.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2
Potenziere mit .
Schritt 4.2.3
Potenziere mit .
Schritt 4.2.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.2.5
Addiere und .
Schritt 5
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 6
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 8
Kombiniere und .
Schritt 9
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 10
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 11
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 11.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 11.1.1
Differenziere .
Schritt 11.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 11.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 11.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 11.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 11.3.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 11.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 11.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 11.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 12
Kombiniere und .
Schritt 13
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 14
Das Integral von nach ist .
Schritt 15
Substituiere und vereinfache.
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Schritt 15.1
Berechne bei und .
Schritt 15.2
Berechne bei und .
Schritt 15.3
Berechne bei und .
Schritt 15.4
Vereinfache.
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Schritt 15.4.1
Addiere und .
Schritt 15.4.2
Addiere und .
Schritt 16
Vereinfache.
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Schritt 16.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 16.2
Subtrahiere von .
Schritt 16.3
Kombiniere und .
Schritt 17
Vereinfache.
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Schritt 17.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 17.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 17.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 17.2
Dividiere durch .
Schritt 17.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.4
Addiere und .
Schritt 17.5
Multipliziere .
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Schritt 17.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 18
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform:
Schritt 19