Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 3

Sei $u = - 0.1 y$ . Dann ist $d u = - 0.1 d y$ , folglich $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - 0.1 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- 0.1 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

Schritt 3.1.2

Da $- 0.1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 0.1 y$ nach $y$ gleich $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $1$ .

$- 0.1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = - 0.1 y$ ein.

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $- 3$ .

$u_{lower} = 0.3$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = - 0.1 y$ ein.

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $- 2$ .

$u_{upper} = 0.2$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 4.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.1}$ .

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 7

Da $\frac{1}{0.1}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.1}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{0.1}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Schritt 10

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $e^{u}$ bei $0.2$ und $0.3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Schritt 12.2

Berechne $\ln (| y |)$ bei $- 2$ und $- 3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 12.3

Entferne die Klammern.

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 13

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Dividiere $2$ durch $0.1$ .

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Schritt 14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Schritt 14.5

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

Schritt 14.6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Dezimalform:

$1.35272566 \dots$

Schritt 16