Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{- 1} 2 x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 3}^{- 1} x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

Schritt 2

Sei $u = 5 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 5 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $5 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 5 - x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 5 - {(- 3)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u_{lower} = 5 - 1 \cdot 9$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$u_{lower} = 5 - 9$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$u_{lower} = - 4$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 5 - x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 5 - {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Schritt 2.5.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{- 4}^{4} - \frac{u^{3}}{2} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{- 4}^{4})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{- 4}^{4})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{u^{4}}{4}$ bei $4$ und $- 4$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $4$ .

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{64}{1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2.2.4

Dividiere $64$ durch $1$ .

$- (64 - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.3

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$- (64 - \frac{256}{4})$

Schritt 10.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $4$ .

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Schritt 10.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4})$

Schritt 10.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)})$

Schritt 10.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1})$

Schritt 10.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (64 - \frac{64}{1})$

Schritt 10.2.4.2.4

Dividiere $64$ durch $1$ .

$- (64 - 1 \cdot 64)$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$- (64 - 64)$

Schritt 10.2.6

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$- 0$

Schritt 10.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 11