Analysis Beispiele

$\int_{2}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{2}^{5} x^{- 2} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{2}^{5}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $5$ und $2$ .

$(- 5^{- 1}) + 2^{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} + 2^{- 1}$

Schritt 3.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Um $- \frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.4

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.2.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.2.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

Schritt 3.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 + 5}{10}$

Schritt 3.2.7

Addiere $- 2$ und $5$ .

$\frac{3}{10}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{10}$

Dezimalform:

$0.3$

Schritt 5