Analysis Beispiele

$\int_{2 \sqrt{2}}^{4} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

Schritt 1

Sei $t = 2 \sec (t_{1})$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d t = 2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ positiv ist.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sec (t_{1})$ an.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t_{1})$ heraus.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1})) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1$ heraus.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \tan^{2} (t_{1})}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.6

Schreibe $4 \tan^{2} (t_{1})$ als ${(2 \tan (t_{1}))}^{2}$ um.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \tan (t_{1}))}^{2}}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \tan (t_{1})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2 \tan (t_{1})$ aus ${(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))$ heraus.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $2 \tan (t_{1})$ aus $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ heraus.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) {(2 \sec (t_{1}))}^{3}} (2 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}}$ und $\sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sec (t_{1})$ heraus.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.2

Wende die Produktregel auf $2 (\sec (t_{1}))$ an.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{2^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec (t_{1})$ und $\sec^{3} (t_{1})$ .

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Schritt 2.2.3.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.4.2.1

Faktorisiere $\sec (t_{1})$ aus $8 \sec^{3} (t_{1})$ heraus.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{8 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $t_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ als ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ um.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Schritt 4.3

Schreibe $\sec (t_{1})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Schritt 4.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ zu dividieren.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\cos (t_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Schritt 5

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{1}{16} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{16} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d t_{1} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Schritt 10

Sei $u = 2 t_{1}$ . Dann ist $d u = 2 d t_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 t_{1}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 t_{1}$ nach $t_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ gleich $n {t_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Setze die untere Grenze für $t_{1}$ in $u = 2 t_{1}$ ein.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Schritt 10.4

Setze die obere Grenze für $t_{1}$ in $u = 2 t_{1}$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 10.5

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 10.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 10.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $t_{1}$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Schritt 14.2

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{2 π}{3}$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3.2

Um $- \frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 14.3.7

Subtrahiere $3 π$ von $4 π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

Schritt 16.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Schritt 16.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 16.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Schritt 16.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Schritt 16.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

Schritt 16.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

Schritt 16.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Schritt 16.7

Vereinfache.

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Schritt 16.7.1

Multipliziere $\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12}$ .

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Schritt 16.7.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{16 \cdot 12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Schritt 16.7.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $12$ .

$\frac{π}{192} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Schritt 16.7.2

Multipliziere $\frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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Schritt 16.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Schritt 16.7.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Schritt 16.7.3

Multipliziere $\frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 16.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{16 \cdot 2}$

Schritt 16.7.3.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Dezimalform:

$0.01217575 \dots$

Schritt 18