Analysis Beispiele

$\int 2 x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x)$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{- u}}^{2}$ als $- u$ um.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- u}$ als ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

$2 \int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u$ .

$2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{u}{2}$ und $e^{u}$ .

$2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int u e^{u} d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int u e^{u} d u$ mit $1$ .

$\int u e^{u} d u$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$u e^{u} - e^{u} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$- x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}} + C$