Analysis Beispiele

$\int_{- 4}^{3} (5 - x^{2}) - (x - 7) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 4}^{3} 5 d x + \int_{- 4}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$5 x]_{- 4}^{3} + \int_{- 4}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 x]_{- 4}^{3} - \int_{- 4}^{3} x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Schritt 6

Multipliziere $- (x - 7)$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x - - 7 d x$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x + 7 d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x d x + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - \int_{- 4}^{3} x d x + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3}) + 7 x]_{- 4}^{3}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $5 x]_{- 4}^{3}$ und $7 x]_{- 4}^{3}$ .

$5 x + 7 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Schritt 13.1.2

Addiere $5 x$ und $7 x$ .

$12 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Schritt 13.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Berechne $12 x$ bei $3$ und $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Schritt 13.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Schritt 13.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4

Vereinfache.

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Schritt 13.2.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$36 - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 4$ .

$36 + 48 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.3

Addiere $36$ und $48$ .

$84 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$84 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 13.2.4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.4.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$84 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.5.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$84 - (9 - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.6

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$84 - (9 - \frac{- 64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$84 - (9 - - \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$84 - (9 + 1 (\frac{64}{3})) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.9

Mutltipliziere $\frac{64}{3}$ mit $1$ .

$84 - (9 + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.10

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$84 - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.11

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$84 - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$84 - \frac{9 \cdot 3 + 64}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.13.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$84 - \frac{27 + 64}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.13.2

Addiere $27$ und $64$ .

$84 - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.14

Um $84$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$84 \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.15

Kombiniere $84$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{84 \cdot 3}{3} - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{84 \cdot 3 - 91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.17.1

Mutltipliziere $84$ mit $3$ .

$\frac{252 - 91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.17.2

Subtrahiere $91$ von $252$ .

$\frac{161}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.18

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.19

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{16}{2})$

Schritt 13.2.4.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 13.2.4.20.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Schritt 13.2.4.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.4.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Schritt 13.2.4.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Schritt 13.2.4.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{8}{1})$

Schritt 13.2.4.20.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 1 \cdot 8)$

Schritt 13.2.4.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 8)$

Schritt 13.2.4.22

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 13.2.4.23

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})$

Schritt 13.2.4.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{161}{3} - \frac{9 - 8 \cdot 2}{2}$

Schritt 13.2.4.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.25.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{161}{3} - \frac{9 - 16}{2}$

Schritt 13.2.4.25.2

Subtrahiere $16$ von $9$ .

$\frac{161}{3} - \frac{- 7}{2}$

Schritt 13.2.4.26

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{161}{3} - - \frac{7}{2}$

Schritt 13.2.4.27

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{161}{3} + 1 (\frac{7}{2})$

Schritt 13.2.4.28

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $1$ .

$\frac{161}{3} + \frac{7}{2}$

Schritt 13.2.4.29

Um $\frac{161}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 13.2.4.30

Um $\frac{7}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{161}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 13.2.4.31

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.2.4.31.1

Mutltipliziere $\frac{161}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 13.2.4.31.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 13.2.4.31.3

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 13.2.4.31.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7 \cdot 3}{6}$

Schritt 13.2.4.32

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{161 \cdot 2 + 7 \cdot 3}{6}$

Schritt 13.2.4.33

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.33.1

Mutltipliziere $161$ mit $2$ .

$\frac{322 + 7 \cdot 3}{6}$

Schritt 13.2.4.33.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{322 + 21}{6}$

Schritt 13.2.4.33.3

Addiere $322$ und $21$ .

$\frac{343}{6}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{343}{6}$

Dezimalform:

$57.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$57 \frac{1}{6}$

Schritt 15