Analysis Beispiele

$\int 30 t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Schritt 1

Da $30$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $30$ aus dem Integral.

$30 \int t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Schritt 2

Sei $u_{1} = t^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$30 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$30 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ als ${u_{1}}^{3}$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{2}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ und $e^{- {u_{1}}^{3}}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$30 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $30$ .

$\frac{30}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{2 \cdot 15}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $15$ durch $1$ .

$15 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Dann ist $d u_{2} = - 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- {u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{3}]$

Schritt 6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- {u_{1}}^{3}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2})$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 {u_{1}}^{2}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$15 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$15 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$15 \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$15 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$- 15 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Schritt 10

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- 15 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 15$ .

$\frac{- 15}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $3$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 5}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 5}{3 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2.2.4

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$- 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$- 5 (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$- 5 e^{u_{2}} + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- {u_{1}}^{3}$ .

$- 5 e^{- {u_{1}}^{3}} + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t^{2}$ .

$- 5 e^{- {(t^{2})}^{3}} + C$