Analysis Beispiele

$\int 3 x e^{0.5 x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x e^{0.5 x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = x e^{0.5 x^{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{x e^{0.5 x^{2}}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $e^{0.5 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 0.5 x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $0.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $0.5 x^{2}$ .

$e^{0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.5 x^{2}$ nach $x$ gleich $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 (2 x))$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$e^{0.5 x^{2}} (1 x)$

Schritt 2.1.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{0.5 x^{2}} x$

Schritt 2.1.3.3.3

Stelle die Faktoren in $e^{0.5 x^{2}} x$ um.

$x e^{0.5 x^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$3 \int d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$3 (u_{2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

$3 u_{2} + C$

Schritt 4.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{0.5 x^{2}}$ .

$3 e^{0.5 x^{2}} + C$