Analysis Beispiele

$\int_{3}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}} - 4 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{3}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{3}^{5} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{3}^{5} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{3}^{5} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{3}^{5} x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{3}^{5} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5} + - 4 x]_{3}^{5}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5}$ und $- 4 x]_{3}^{5}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 4 x]_{3}^{5}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}} - 4 x$ bei $5$ und $3$ .

$(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 5) - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3)$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 12)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - - 12$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - - 12$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 12$

Schritt 5.3.2

Addiere $- 20$ und $12$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 8 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 8 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Dezimalform:

$- 6.99196566 \dots$

Schritt 7