Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\arcsin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.2.1

Wende die Produktregel auf $4 (x)$ an.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.3.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.3.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \arcsin (4 x)$ ein.

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = \arcsin (0)$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \arcsin (4 x)$ ein.

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Schritt 1.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

Schritt 2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ bei $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

Schritt 4.2.4

Addiere $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{6}$ an.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

Schritt 5.2

Kombinieren.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Schritt 5.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $8$ mit $36$ .

$\frac{π^{2}}{288}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π^{2}}{288}$

Dezimalform:

$0.03426945 \dots$