Analysis Beispiele

$\int \frac{y - 2}{y + 3} d y$

Schritt 1

Dividiere $y - 2$ durch $y + 3$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$3$

$y$

$2$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	-	$2$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			+	$y$	+	$3$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 3$

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$
					-	$5$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{5}{y + 3} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C - \int \frac{5}{y + 3} d y$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y + C - (5 \int \frac{1}{y + 3} d y)$

Schritt 6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y + C - 5 \int \frac{1}{y + 3} d y$

Schritt 7

Sei $u = y + 3$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = y + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 7.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C - 5 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C - 5 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$y - 5 \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $y + 3$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C$