Analysis Beispiele

$\int y^{2} {(1 + y)}^{2} d y$

Schritt 1

Multipliziere $y^{2} {(1 + y)}^{2}$ aus.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + y)}^{2}$ als $(1 + y) (1 + y)$ um.

$\int y^{2} ((1 + y) (1 + y)) d y$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int y^{2} (1 (1 + y) + y (1 + y)) d y$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)) d y$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Schritt 1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Schritt 1.8

Bewege $y^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Schritt 1.9

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Schritt 1.10

Stelle $y$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (1 \cdot y) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Schritt 1.11

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + 1 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2} (y \cdot y) d y$

Schritt 1.12

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.13

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\int y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.14

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.15

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y^{1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{2} + y^{2 + 1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.17

Addiere $2$ und $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.18

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.19

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y^{1} + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2 + 1} + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.21

Addiere $2$ und $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y \cdot y d y$

Schritt 1.22

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y^{1} y d y$

Schritt 1.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2 + 1} y d y$

Schritt 1.24

Addiere $2$ und $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y d y$

Schritt 1.25

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y^{1} d y$

Schritt 1.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3 + 1} d y$

Schritt 1.27

Addiere $3$ und $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{4} d y$

Schritt 1.28

Addiere $y^{3}$ und $y^{3}$ .

$\int y^{2} + 2 y^{3} + y^{4} d y$

Schritt 1.29

Stelle $2 y^{3}$ und $y^{4}$ um.

$\int y^{2} + y^{4} + 2 y^{3} d y$

Schritt 1.30

Bewege $y^{2}$ .

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{4} d y + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 \int y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int y^{2} d y$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{y^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$