Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Integriere partiell durch Anwendung der Formel , mit und .
Schritt 2
Schritt 2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.2
Kombiniere und .
Schritt 2.3
Kombiniere und .
Schritt 2.4
Kombiniere und .
Schritt 3
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 4
Schritt 4.1
Kombiniere und .
Schritt 4.2
Kombiniere und .
Schritt 4.3
Kombiniere und .
Schritt 4.4
Kombiniere und .
Schritt 5
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 6
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 7
Schritt 7.1
Es sei . Ermittle .
Schritt 7.1.1
Differenziere .
Schritt 7.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 7.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 7.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 7.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 7.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 7.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 7.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 8
Kombiniere und .
Schritt 9
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 10
Schritt 10.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11
Das Integral von nach ist .
Schritt 12
Kombiniere und .
Schritt 13
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 14
Schritt 14.1
Es sei . Ermittle .
Schritt 14.1.1
Differenziere .
Schritt 14.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 14.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 14.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 14.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 14.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 14.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 14.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 14.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 14.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 15
Kombiniere und .
Schritt 16
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 17
Schritt 17.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 18
Faktorisiere aus.
Schritt 19
Schreibe in um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.
Schritt 20
Schritt 20.1
Es sei . Ermittle .
Schritt 20.1.1
Differenziere .
Schritt 20.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 20.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 20.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 20.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 20.5
Vereinfache.
Schritt 20.5.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 20.5.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 20.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 20.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 20.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 21
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 22
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 23
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 24
Schritt 24.1
Kombiniere und .
Schritt 24.2
Kombiniere und .
Schritt 24.3
Kombiniere und .
Schritt 25
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 26
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 27
Schritt 27.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 27.2
Kombiniere und .
Schritt 27.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 27.4
Kombiniere und .
Schritt 27.5
Kombiniere und .
Schritt 27.6
Kombiniere und .
Schritt 27.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 27.8
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 27.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 27.8.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 27.8.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 27.8.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 27.8.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 27.8.2.4
Dividiere durch .
Schritt 28
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 29
Schritt 29.1
Es sei . Ermittle .
Schritt 29.1.1
Differenziere .
Schritt 29.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 29.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 29.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 29.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 29.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 29.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 29.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 29.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 29.5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 29.5.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 29.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 29.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 30
Kombiniere und .
Schritt 31
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 32
Schritt 32.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 32.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 33
Das Integral von nach ist .
Schritt 34
Kombiniere und .
Schritt 35
Schritt 35.1
Berechne bei und .
Schritt 35.2
Berechne bei und .
Schritt 35.3
Berechne bei und .
Schritt 35.4
Berechne bei und .
Schritt 35.5
Berechne bei und .
Schritt 35.6
Vereinfache.
Schritt 35.6.1
Kombiniere und .
Schritt 35.6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 35.6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 35.6.2.2
Dividiere durch .
Schritt 35.6.3
Kombiniere und .
Schritt 35.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 35.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 35.6.4.2
Dividiere durch .
Schritt 35.6.5
Kombiniere und .
Schritt 35.6.6
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 35.6.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.9
Kombiniere und .
Schritt 35.6.10
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 35.6.10.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.10.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 35.6.10.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.10.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 35.6.10.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 35.6.10.2.4
Dividiere durch .
Schritt 35.6.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.13
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 35.6.14
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Schritt 35.6.14.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.14.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.15
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 35.6.16
Vereinfache den Zähler.
Schritt 35.6.16.1
Berechne .
Schritt 35.6.16.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.16.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.16.4
Berechne .
Schritt 35.6.16.5
Potenziere mit .
Schritt 35.6.16.6
Addiere und .
Schritt 35.6.17
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 35.6.17.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.17.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 35.6.17.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.17.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 35.6.17.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 35.6.17.2.4
Dividiere durch .
Schritt 35.6.18
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.19
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 35.6.19.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.19.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 35.6.19.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.19.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 35.6.19.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 35.6.19.2.4
Dividiere durch .
Schritt 35.6.20
Addiere und .
Schritt 35.6.21
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.22
Addiere und .
Schritt 35.6.23
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.24
Addiere und .
Schritt 35.6.25
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.26
Potenziere mit .
Schritt 35.6.27
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 35.6.28
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 35.6.29
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 35.6.30
Subtrahiere von .
Schritt 35.6.31
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.32
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 35.6.33
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 35.6.34
Kombiniere und .
Schritt 35.6.35
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 35.6.36
Vereinfache den Zähler.
Schritt 35.6.36.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.36.2
Addiere und .
Schritt 35.6.37
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 35.6.38
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.39
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.40
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 35.6.41
Addiere und .
Schritt 35.6.42
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 35.6.43
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 35.6.43.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.43.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 35.6.43.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.43.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 35.6.43.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 35.6.43.2.4
Dividiere durch .
Schritt 35.6.44
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.45
Addiere und .
Schritt 35.6.46
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 35.6.46.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.46.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.46.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.46.4
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 35.6.46.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 35.6.46.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 35.6.46.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 35.6.47
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.48
Kombinieren.
Schritt 35.6.49
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 35.6.50
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 35.6.50.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 35.6.50.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 35.6.51
Vereinfache den Zähler.
Schritt 35.6.51.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 35.6.51.2
Potenziere mit .
Schritt 35.6.52
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 35.6.53
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.54
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.55
Kombiniere und .
Schritt 35.6.56
Kombiniere und .
Schritt 35.6.57
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.58
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.59
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.60
Kombinieren.
Schritt 35.6.61
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 35.6.62
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 35.6.62.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 35.6.62.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 35.6.63
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.64
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.65
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 35.6.66
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Schritt 35.6.66.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.66.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 35.6.67
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 35.6.68
Mutltipliziere mit .
Schritt 36
Schritt 36.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 36.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 37
Schritt 37.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 37.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 37.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 37.2
Dividiere durch .
Schritt 37.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.4
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 37.5
Der genau Wert von ist .
Schritt 37.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.7
Vereinfache jeden Term.
Schritt 37.7.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 37.7.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 37.7.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 37.7.1.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 37.7.2
Dividiere durch .
Schritt 37.7.3
Dividiere durch .
Schritt 37.8
Addiere und .
Schritt 37.9
Addiere und .
Schritt 37.10
Addiere und .
Schritt 37.11
Multipliziere .
Schritt 37.11.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.11.2
Potenziere mit .
Schritt 37.11.3
Potenziere mit .
Schritt 37.11.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 37.11.5
Addiere und .
Schritt 37.11.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.12
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 37.13
Der genau Wert von ist .
Schritt 37.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.15
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.16
Addiere und .
Schritt 37.17
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.18
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 37.19
Der genau Wert von ist .
Schritt 37.20
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.21
Addiere und .
Schritt 37.22
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.23
Addiere und .
Schritt 37.24
Vereinfache jeden Term.
Schritt 37.24.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 37.24.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 37.24.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 37.24.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 37.24.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 37.24.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 37.24.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 37.25
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 37.26
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Schritt 37.26.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.26.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.27
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 37.28
Addiere und .
Schritt 37.29
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 37.30
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Schritt 37.30.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.30.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 37.31
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 37.32
Mutltipliziere mit .
Schritt 38
Schritt 38.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 38.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 38.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 38.4
Subtrahiere von .
Schritt 39
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform: