Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{12}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (6)}$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) d u)$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $x$ bei $\frac{π}{12}$ und $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 8.2

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{6})) - \sin (0))$

Schritt 8.3

Addiere $\frac{π}{12}$ und $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

Schritt 9.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0)$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 9.4

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.01179938 \dots$