Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{2}$ ein.

$u_{lower} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{2}$ ein.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{upper} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.5.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sec^{2} (u) d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 5

Berechne $\tan (u)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$2 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$2 (1 - \tan (0))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 (1 - 0)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (1 + 0)$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$