Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

Schritt 1

Sei $u = 4 + r^{2}$ . Dann ist $d u = 2 r d r$ , folglich $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 + r^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d r}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + r^{2}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 1.1.3

Da $4$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $2 r$ .

$2 r$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $r$ in $u = 4 + r^{2}$ ein.

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $4$ und $0$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $r$ in $u = 4 + r^{2}$ ein.

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u |)$ bei $4 + \frac{π^{2}}{4}$ und $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ ist ungefähr $6.4674011$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Schritt 7.1.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Schritt 7.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

Schritt 7.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

Schritt 7.4

Multipliziere $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{16 + π^{2}}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Dezimalform:

$0.24023999 \dots$

Schritt 9