Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = - \cos (x)$ . Dann ist $d u = \sin (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

Schritt 1.1.4

Multipliziere.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sin (x)$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = - \cos (0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = - 0$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $e^{u}$ bei $0$ und $- 1$ .

$(e^{0}) - e^{- 1}$

Schritt 3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$1 - \frac{1}{e}$

Dezimalform:

$0.63212055 \dots$