Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

Schritt 1

Sei $u = \sin (t)$ . Dann ist $d u = \cos (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = \sin (t)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = \sin (t)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

Schritt 2

Sei $u = \tan (t_{1})$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t_{1})$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ .

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Schritt 3.1.1

Ordne Terme um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Schritt 3.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Schritt 3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t_{1})$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\sec (t_{1})$ aus $\sec^{2} (t_{1})$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Schritt 4

Das Integral von $\sec (t_{1})$ nach $t_{1}$ ist $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Schritt 6.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 6.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.1.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.1.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ ist ungefähr $2.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Schritt 7.3

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Dezimalform:

$0.88137358 \dots$