Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 5.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 5.2.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 (\frac{1}{3} - 0)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0)$

Schritt 5.2.5

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$2 (\frac{1}{3})$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$