Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) d x$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Schritt 2

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ als ein Produkt um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Schritt 5.2

Multipliziere ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ aus.

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Schritt 5.2.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 5.2.7

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.8

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.9

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.10

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.11

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.12

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.13

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.14

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.15

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.16

Bewege $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.17

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.18

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 5.2.19

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 5.2.20

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.21

Bewege $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.22

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.23

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.24

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.25

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.26

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.27

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.28

Kombiniere $- \frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.29

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.30

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.31

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.32

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.33

Kombiniere $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.34

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.35

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.36

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.37

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.38

Mutltipliziere $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.39

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.40

Kombiniere $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ und $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 5.2.41

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 5.2.42

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 5.2.43

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Schritt 5.2.44

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 5.2.45

Subtrahiere $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ von $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 5.2.46

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 5.2.47

Stelle $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 5.2.48

Stelle $\frac{1}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (u_{1})$ heraus.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 8

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 13

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 13.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 13.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ ein.

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 13.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 13.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 14

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 15

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 16

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 18

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 19

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 20

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 21

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{1}) d u_{1}))$

Schritt 22

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{π})$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Kombiniere $\sin (u_{1})]_{0}^{π}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} - \frac{\sin (u_{1})]_{0}^{π}}{2})$

Schritt 23.2

Um $\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (u_{1})]_{0}^{π}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 23.3

Kombiniere $\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (u_{1})]_{0}^{π}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 23.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) \cdot 2 - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 23.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{2}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 23.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 23.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 23.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 23.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 23.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 23.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 24

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 24.1

Berechne $u_{1}$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((π) + 0 + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 24.2

Berechne $\sin (u_{2})$ bei $2 π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((π) + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 24.3

Berechne $\sin (u_{1})$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((π) + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}) - ((\sin (π)) - \sin (0))}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Schritt 24.4

Berechne $\frac{u_{1}}{4}$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((π) + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}) - ((\sin (π)) - \sin (0))}{2} + (\frac{π}{4}) - \frac{0}{4})$

Schritt 24.5

Vereinfache.

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Schritt 24.5.1

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}) - ((\sin (π)) - \sin (0))}{2} + (\frac{π}{4}) - \frac{0}{4})$

Schritt 24.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 24.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 24.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 24.5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 24.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 24.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - \frac{0}{1})$

Schritt 24.5.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - 0)$

Schritt 24.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} + 0)$

Schritt 24.5.4

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 25

Vereinfache.

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Schritt 25.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - 0}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 25.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - 0}{2}) - (\sin (π) - 0)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 25.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) + 0}{2}) - (\sin (π) - 0)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 25.4

Addiere $\sin (2 π)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}) - (\sin (π) - 0)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 25.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}) - (\sin (π) + 0)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 25.6

Addiere $\sin (π)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26

Vereinfache.

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Schritt 26.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 26.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 26.1.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (0)}{2}) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.1.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{0}{2}) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.1.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + 0) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} π - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4} - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4} - \sin (0)}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4} - 0}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4} + 0}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.7

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 26.8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.8.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 26.8.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4 \cdot 2} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.8.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π}{4})$

Schritt 26.9

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π}{4} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 26.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 26.10.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 2}{4 \cdot 2})$

Schritt 26.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 2}{8})$

Schritt 26.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + π \cdot 2}{8}$

Schritt 26.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + 2 \cdot π}{8}$

Schritt 26.13

Addiere $π$ und $2 π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 π}{8}$

Schritt 26.14

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 π}{8}$ .

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Schritt 26.14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3 π}{8}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 8}$

Schritt 26.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{3 π}{16}$

Schritt 27

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 π}{16}$

Dezimalform:

$0.58904862 \dots$