Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Berechne $x \sin (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 3.1.2

Berechne $- \cos (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ und $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Schritt 3.1.3.4

Um $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.1.3.5

Kombiniere $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Schritt 3.1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Schritt 3.1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{2}$

Schritt 3.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{2}$

Schritt 3.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{2}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{π - 2}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π - 2}{2}$

Dezimalform:

$0.57079632 \dots$