Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x)$

Schritt 4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Schritt 9.2

Berechne $- \cos (u)$ bei $π$ und $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.2.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (π)}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $\sin (π)$ .

$\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.4

Schreibe $\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2}$ als ein Produkt um.

$\frac{π \sin (π)}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $\frac{π \sin (π)}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (π)}{2 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.11

Addiere $\frac{π \sin (π)}{4}$ und $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.12

Um $- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 9.3.13

Kombiniere $- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Schritt 9.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Schritt 9.3.15

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{π \sin (π) - 4 (\frac{1}{4}) (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Schritt 9.3.16

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 4}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Schritt 9.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 9.3.17.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Schritt 9.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.17.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Schritt 9.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Schritt 9.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 1}{1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Schritt 9.3.17.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Schritt 10

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Schritt 11.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Schritt 11.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{0 - (- - \cos (0) + 1)}{4}$

Schritt 11.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{4}$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 - (- - 1 + 1)}{4}$

Schritt 11.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{0 - (1 + 1)}{4}$

Schritt 11.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2}{4}$

Schritt 11.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 - 2}{4}$

Schritt 11.10

Vereinfache den Ausdruck $\frac{0 - 2}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.10.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0) - 2}{4}$

Schritt 11.10.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{4}$

Schritt 11.10.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{4}$

Schritt 11.10.4

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (2)}$

Schritt 11.10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.10.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0 - 1}{2}$

Schritt 11.11

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 11.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$