Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 0^{2}$

Schritt 1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2}$ ein.

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

Schritt 5

Berechne $- \cos (u)$ bei $\frac{π^{2}}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

Schritt 6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\cos (\frac{π^{2}}{4})$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.78121189$ .

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

Schritt 7.3

Addiere $0.78121189$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $1.78121189$ .

$\frac{1.78121189}{2}$

Schritt 7.5

Dividiere $1.78121189$ durch $2$ .

$0.89060594$