Analysis Beispiele

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{u}{2}$ und $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\int \cos (u) d u$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Schritt 8

Schreibe $\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ als $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ um.

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Schritt 10.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $\cos (x^{2})$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Schritt 10.4

Stelle die Faktoren in $- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ um.

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$