Analysis Beispiele

$\int x^{4} e^{- 2 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{4}$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$x^{4} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (4 x^{3}) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{4} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (4 x^{3}) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (4 x^{3}) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2} \cdot 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2} \cdot 4$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (- 4 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{1} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Schritt 4.3.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (- 2 \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (x^{3} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 6

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Schritt 6.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (x^{3} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} (3 x^{2}) d x)$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - 3 \frac{e^{- 2 x}}{2} x^{2} d x)$

Schritt 6.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} x^{2} d x)$

Schritt 6.6

Kombiniere $\frac{- 3 e^{- 2 x}}{2}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Schritt 8

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Schritt 9

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} \int e^{- 2 x} x^{2} d x)$

Schritt 10

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x))$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x))$

Schritt 11.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x))$

Schritt 11.3

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 x) d x))$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - 2 \frac{e^{- 2 x}}{2} x d x))$

Schritt 11.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 2 e^{- 2 x}}{2} x d x))$

Schritt 11.6

Kombiniere $\frac{- 2 e^{- 2 x}}{2}$ und $x$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 2 e^{- 2 x} x}{2} d x))$

Schritt 11.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{- 2 x} x$ heraus.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{2 (- e^{- 2 x} x)}{2} d x))$

Schritt 11.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{2 (- e^{- 2 x} x)}{2 (1)} d x))$

Schritt 11.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{2 (- e^{- 2 x} x)}{2 \cdot 1} d x))$

Schritt 11.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- e^{- 2 x} x}{1} d x))$

Schritt 11.7.2.4

Dividiere $- e^{- 2 x} x$ durch $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - e^{- 2 x} x d x))$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - - \int e^{- 2 x} x d x))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int e^{- 2 x} x d x))$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $\int e^{- 2 x} x d x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} x d x))$

Schritt 14

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x))$

Schritt 15.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x))$

Schritt 15.3

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Schritt 16

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Schritt 18

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x))$

Schritt 19

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 19.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 19.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 19.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 19.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 19.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 19.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u))$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u))$

Schritt 20.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u))$

Schritt 21

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)))$

Schritt 22

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))))$

Schritt 23

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Schritt 23.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

Schritt 23.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Schritt 24

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

Schritt 25

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Schritt 25.1

Schreibe $- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ als $- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$ um.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$

Schritt 25.2

Vereinfache.

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Schritt 25.2.1

Um $2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 25.2.2

Kombiniere $2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8})$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 25.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{4} e^{- 2 x} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 25.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- x^{4} e^{- 2 x} + 4 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8})}{2} + C$

Schritt 26

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$\frac{- x^{4} e^{- 2 x} + 4 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{8})}{2} + C$

Schritt 27

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (- x^{4} e^{- 2 x} + 4 (- \frac{1}{2} x^{3} e^{- 2 x} - \frac{3}{4} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{3}{4} x e^{- 2 x} - \frac{3}{8} e^{- 2 x})) + C$