Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sin (4 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sin (4 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (4 x)$ und $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{4} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{4} \cdot 2$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \cdot 2 \int \cos (4 x) (x) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- 2 (\frac{1}{4}) \int \cos (4 x) (x) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 2}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 (- 1)}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sin (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sin (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{\sin (4 x)}{4} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \int \sin (4 x) d x))$

Schritt 8

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 8.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{4} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u) d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} \int \sin (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe $- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$ als $- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$ um.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Um $\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Schritt 13.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Schritt 13.2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{4}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Schritt 13.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 13.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Schritt 13.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Schritt 13.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Schritt 13.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Schritt 13.2.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (4 x)}{16})}{4} + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{4} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 (2)} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Schritt 15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Schritt 15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 (8)}}{4} + C$

Schritt 15.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Schritt 15.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Um $- x^{2} \cos (4 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} - x^{2} \cos (4 x) \cdot \frac{8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16.1.2

Kombiniere $- x^{2} \cos (4 x)$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16.1.4

Um $\frac{x \sin (4 x)}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16.1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 16.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x \sin (4 x)}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16.1.7

Schreibe $\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 16.1.7.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x \sin (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 \cdot (x \sin (4 x)) - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16.1.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Schritt 16.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

Schritt 16.3

Multipliziere $\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 16.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Schritt 16.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{32} + C$

Schritt 16.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{32} (4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)) + C$