Analysis Beispiele

$\int \sqrt{3 - 2 x - x^{2}} d x$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1

Bewege $3$ .

$- 2 x - x^{2} + 3$

Schritt 1.1.2

Stelle $- 2 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} - 2 x + 3$

Schritt 1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 3$

Schritt 1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.4.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 1$ als $- - 1$ um.

$d = - - 1$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$d = 1$

Schritt 1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 3 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 1.5.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = 3 - - 1$

Schritt 1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 3 + 1$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$e = 4$

Schritt 1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 1)}^{2} + 4$ ein.

$\int \sqrt{- {(x + 1)}^{2} + 4} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 4} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 2 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4}$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sin (t)$ an.

$\int \sqrt{- (2^{2} \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{- (4 \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int \sqrt{- 4 \sin^{2} (t) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.2

Stelle $- 4 \sin^{2} (t)$ und $4$ um.

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.7

Schreibe $4 \cos^{2} (t)$ als ${(2 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 4.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 4 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$4 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$2 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 11

Sei $u_{2} = 2 t$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 11.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 12

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$2 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

$2 (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 t$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 16.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 16.4

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{2}))) + C$

Schritt 16.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2}) + C$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

Schritt 17.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

Schritt 17.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2})) + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1)) + \sin (2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1))) + C$