Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - 2 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 4 x d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - 2 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 4 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $4 x$ von $0$ .

$- 4 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Schritt 2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$\int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{- 3} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ als $- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ um.

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Schritt 7.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{1}{4 (2 u^{2})} + C$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{8 u^{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 2 x^{2})}^{2}} + C$