Analysis Beispiele

$\int x^{2} e^{11 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{11 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{11} e^{11 x}) - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $e^{11 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{11 x}}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{11} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{11} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - (\frac{1}{11} \cdot 2 \int e^{11 x} (x) d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $2$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} \int e^{11 x} (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (x (\frac{1}{11} e^{11 x}) - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (x \frac{e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{11 x}}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \int \frac{e^{11 x}}{11} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{11}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{11}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - (\frac{1}{11} \int e^{11 x} d x))$

Schritt 8

Sei $u = 11 x$ . Dann ist $d u = 11 d x$ , folglich $\frac{1}{11} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 11 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Schritt 8.1.2

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$11$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} \int e^{u} \frac{1}{11} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} \int \frac{e^{u}}{11} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{11}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{11}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} (\frac{1}{11} \int e^{u} d u))$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{11}$ mit $\frac{1}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11 \cdot 11} \int e^{u} d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} \int e^{u} d u)$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} (e^{u} + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe $\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} (e^{u} + C))$ als $\frac{1}{11} x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$ um.

$\frac{1}{11} x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Schritt 13.2

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{11} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{11}$ und $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.3

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $x$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x}{11} e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.4

Kombiniere $\frac{x}{11}$ und $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{121}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) + C$

Schritt 13.2.6

Um $- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot \frac{11}{11} + C$

Schritt 13.2.7

Kombiniere $- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})$ und $\frac{11}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} + \frac{- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot 11}{11} + C$

Schritt 13.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot 11}{11} + C$

Schritt 13.2.9

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 11 (\frac{2}{11}) (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Schritt 13.2.10

Kombiniere $- 11$ und $\frac{2}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 11 \cdot 2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Schritt 13.2.11

Mutltipliziere $- 11$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 22}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Schritt 13.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 22$ und $11$ .

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Schritt 13.2.12.1

Faktorisiere $11$ aus $- 22$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Schritt 13.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.12.2.1

Faktorisiere $11$ aus $11$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11 (1)} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Schritt 13.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11 \cdot 1} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Schritt 13.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Schritt 13.2.12.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $11 x$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{11 x}}{121})}{11} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{11} (x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{11 x})) + C$