Analysis Beispiele

$\int e^{6 x} \cos (5 x) d x$

Schritt 1

Stelle $e^{6 x}$ und $\cos (5 x)$ um.

$\int \cos (5 x) e^{6 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (5 x)$ und $d v = e^{6 x}$ .

$\cos (5 x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (- 5 \sin (5 x)) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6} \cdot - 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{6} \cdot - 5$ aus dem Integral.

$\cos (5 x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - (\frac{1}{6} \cdot - 5 \int e^{6 x} (\sin (5 x)) d x)$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{6 x}$ .

$\cos (5 x) \frac{e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot - 5 \int e^{6 x} (\sin (5 x)) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $\cos (5 x)$ und $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot - 5 \int e^{6 x} (\sin (5 x)) d x)$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $- 5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} \int e^{6 x} (\sin (5 x)) d x)$

Schritt 4.4

Stelle $e^{6 x}$ und $\sin (5 x)$ um.

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} \int \sin (5 x) e^{6 x} d x)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (5 x)$ und $d v = e^{6 x}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\sin (5 x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (5 \cos (5 x)) d x))$

Schritt 6

Da $\frac{1}{6} \cdot 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{6} \cdot 5$ aus dem Integral.

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\sin (5 x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - (\frac{1}{6} \cdot 5 \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{6 x}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\sin (5 x) \frac{e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot 5 \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Schritt 7.2

Kombiniere $\sin (5 x)$ und $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\frac{\sin (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot 5 \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\frac{\sin (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{- 5}{6} \cdot \frac{\sin (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{- 5}{6} (- (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x))$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{\sin (5 x) e^{6 x}}{6}$ mit $\frac{- 5}{6}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{6 \cdot 6} - \frac{- 5}{6} (- (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x))$

Schritt 7.6

Multipliziere.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} - \frac{- 5}{6} (- (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x))$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + 1 (\frac{- 5}{6}) (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)$

Schritt 7.6.3

Mutltipliziere $\frac{- 5}{6}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + \frac{- 5}{6} (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{5}{6}$ mit $\frac{- 5}{6}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + \frac{5 \cdot - 5}{6 \cdot 6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x$

Schritt 7.8

Multipliziere.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + \frac{- 25}{6 \cdot 6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + \frac{- 25}{36} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{6 x} \cos (5 x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{6 x} \cos (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36}}{\frac{61}{36}}$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $\sin (5 x) e^{6 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{- 5 \cdot (\sin (5 x) e^{6 x})}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Schritt 9.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - - \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $\frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} + \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Schritt 9.1.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{61}{36}$ zu dividieren.

$(\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} + \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}) \frac{36}{61} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $(\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} + \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}) \frac{36}{61} + C$ als $(\frac{1}{6} \cos (5 x) e^{6 x} + \frac{5}{36} \sin (5 x) e^{6 x}) \frac{36}{61} + C$ um.

$(\frac{1}{6} \cos (5 x) e^{6 x} + \frac{5}{36} \sin (5 x) e^{6 x}) \frac{36}{61} + C$