Analysis Beispiele

$\int e^{\sin (π x)} \cos (π x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \sin (π x)$ . Dann ist $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \sin (π x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $π x$ .

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\cos (π x) π$

Schritt 1.1.3.3.2

Stelle die Faktoren von $\cos (π x) π$ um.

$π \cos (π x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} e^{\sin (π x)} + C$