Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

Schritt 2

Sei $u = \frac{x}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{3} d x$ , folglich $3 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \frac{x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{3}$ ein.

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{3}$ ein.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

Schritt 3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cot (u)$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\cot (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sin (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 7

Berechne $\ln (| \sin (u) |)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{6}$ .

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Schritt 8.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

Schritt 8.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

Schritt 9

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Schritt 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ist ungefähr $0.8660254$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

Schritt 9.2

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Schritt 9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \ln (\sqrt{3})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$6 \ln (\sqrt{3})$

Dezimalform:

$3.29583686 \dots$