Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 4 \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{upper} = \cos (0)$

Schritt 2.5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u)$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$- 4 (\frac{u^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{u^{4}}{4}$ bei $1$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Schritt 7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- 4 \frac{1 - \frac{1^{4}}{2^{4}}}{4}$

Schritt 8.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{2^{4}}}{4}$

Schritt 8.2.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{16}}{4}$

Schritt 8.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- 4 \frac{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}}{4}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 \frac{\frac{16 - 1}{16}}{4}$

Schritt 8.5

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$- 4 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Schritt 8.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Schritt 8.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Schritt 8.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{15}{16}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{15}{16}$

Dezimalform:

$- 0.9375$