Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $u - 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $u - 1$ mit $1$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $1 + \ln (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$