Analysis Beispiele

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

Schritt 1

Stelle $e^{- x}$ und $\sin (4 x)$ um.

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (4 x)$ und $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

Schritt 3

Da $- 1 \cdot 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1 \cdot 4$ aus dem Integral.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- x}$ und $\cos (4 x)$ um.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (4 x)$ und $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Schritt 6

Da $- - 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- - 4$ aus dem Integral.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Schritt 7

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Schritt 7.4

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ als $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ um.

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- \sin (4 x) e^{- x}$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Schritt 9.2.1.1.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Schritt 9.2.1.1.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Schritt 9.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (4 x)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Schritt 9.2.1.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 \cos (4 x)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

Schritt 9.2.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Schritt 9.2.1.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$