Analysis Beispiele

$\int e^{- 0.1 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = - 0.1 x$ . Dann ist $d u = - 0.1 d x$ , folglich $\frac{1}{- 0.1} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - 0.1 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- 0.1 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.1 x]$

Schritt 1.1.2

Da $- 0.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.1 x$ nach $x$ gleich $- 0.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $1$ .

$- 0.1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.1}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{0.1} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u}}{0.1} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{0.1}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.1}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{0.1} \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{0.1} (e^{u} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $- \frac{1}{0.1} (e^{u} + C)$ als $- 1 \cdot 10 e^{u} + C$ um.

$- 1 \cdot 10 e^{u} + C$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $- 0.1 x$ .

$- 10 e^{- 0.1 x} + C$